Propiedades de la Esperanza matemática, varianza y desviación estándar

                   Propiedades de la esperanza matemática

Propiedad de la Esperanza matematica 

1   La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir, si c es una constante

E[c] = c.

Ejemplo 1;

X= {2} = E(X)= 2

2  Si las variable X y Y son aleatorias, se cumple:

E(X+Y)= E(X) + E (Y)

Esto indica que el valor de la suma de las dos variables aleatorias es igual a la suma de los dos valores esperados

Ejemplo 2;

Tabla 1. Tabla de probabilidad

X	1	2	3	4
P (X=x)	1/8	3/8	3/8	1/8

E(X)= (1.1/8)+ (2.3/8)+(3.3/8)+(4.1/8)

E(X)= 0,125+0,75+1,125+0,5

E(X)= 2,5

Tabla 2. Tabla de probabilidad de Y

X	1	2
P(Y=y)	2/5	1/3

E (Y)= (1.2/5)+ (2.1/3)

E (Y)= 0,4+0,66=

E (Y)= 1,06

Entonces

E(X+Y)= 2,5+1,06= 3,56 es la esperanza matemática de E(X+Y)

3   El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable

Entonces:

E (k.X)= k. E(X)

Ejemplo 3:

Dado de k es una constante k=2 y E(X)= 2,5 (valor hallado en el ejemplo 1)

E(k.X) = 2.2,5

E(k.X)= 5

4.    Si las variables X y Y son variables independientes, se cumple que:

E (X.Y)= E(X).E (Y)

Ejemplo 4:

Se utilizaran los valores hallados en el ejemplo 1

E(X.Y)= 2,5 x 1,06

E(X.Y)= 2,65

Propiedades de la varianza y desviación estandar

Cabe destacar que la varianza y la desviación poseen las mismas propiedades, existiendo una variabilidad en el cálculo de la raíz en la desviación al resultado de la varianza

 1 . La varianza de una constante a es cero.

V(K)= 0

Ejemplo:

Dado que X=4 y P(X)= 0,4

V(X)= (4-4)^2. 0,4

V(X)= 0

2.  . Si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

Entonces:

V (k.X) = K². V(X)

Tabla 3. Tabla de probabilidad de la variable (X)

X	1	2
P(X=x)	1/5	1/8

E(X)= 0,343

Var(X)= (0,343-1)².1/5+ (0,343-2)².1/8

Var(X)= 0,0863+0,3432

Var(X)=0,4295

Dado que k=4

V (k.X) = 4². 0,4295

V (k.X)= 6,872

DE(k.X)= 2,621

3.  . Si las variables X y Y son variables independientes

Var(X+Y)= Var(X)+ Var(Y)

          

    Tabla 4. Tabla de probabilidad de la variable (Y)

X	1	2
P(Y=y)	3/5	2/8

E(X)= 0,343

Var(Y)= (0,343-1)² . 3/5 + (0,343-2)².2/8

Var(Y)= 0,2589+0,6864

Var(Y)=0,9453

Tenemos que:

Var(X)= 0,4295 (ejemplo de la propiedad anterior)

Var(Y)= 0,9453

Var(X+Y)= 0,4295+ 0,9453

Var(X+Y)= 1,3748

DE(X+Y)= 1,725